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数学の分野は変化率を研究しています
2020年1月21日に更新
微積分学は、変化率の研究を含む数学の一分野です。微積分が発明される前は、すべての数学は静的でした。それは、完全に静止しているオブジェクトの計算にしか役立ちませんでした。しかし、宇宙は絶えず動いて変化しています。宇宙の星から体内の亜原子粒子や細胞まで、常に静止している物体はありません。確かに、宇宙のほぼすべてが絶えず動いています。微積分は、粒子、星、物質が実際にどのように移動し、リアルタイムで変化するかを判断するのに役立ちました。
微積分は、通常はその概念を利用するとは思わない多くの分野で使用されています。それらの中には、物理学、工学、経済学、統計学、および医学があります。微積分は、宇宙旅行などのさまざまな分野で使用されているだけでなく、薬が体とどのように相互作用するか、さらにはより安全な構造を構築する方法を決定することもできます。微積分の歴史と、微積分が何を実行および測定するように設計されているかについて少し知っていれば、微積分が非常に多くの分野で役立つ理由を理解できます。
重要なポイント：微積分の基本定理
微積分は変化率の研究です。
17世紀の数学者であるゴットフリートライプニッツとアイザックニュートンは、どちらも微積分を独自に発明しました。ニュートンが最初に発明しましたが、ライプニッツは数学者が今日使用する表記法を作成しました。
微積分には2つのタイプがあります。微分計算は量の変化率を決定し、積分計算は変化率がわかっている量を見つけます。
微積分を発明したのは誰ですか？
微積分は、17世紀後半に、ゴットフリートライプニッツと アイザックニュートンの2人の数学者によって開発されました。ニュートンは最初に微積分を開発し、それを物理システムの理解に直接適用しました。独立して、ライプニッツは微積分で使用される表記法を開発しました。簡単に言えば、基本的な数学ではプラス、マイナス、時間、除算（+、-、x、÷）などの演算を使用しますが、微積分では 関数と積分を使用して 変化率を計算します。
これらのツールにより、ニュートン、ライプニッツ、およびそれに続く他の数学者は、任意の点での曲線の正確な傾きなどを計算することができました。数学の物語は 、ニュートンの微積分学の基本定理の重要性を説明しています。
「ギリシャ人の静的な幾何学とは異なり、微積分学は数学者やエンジニアが惑星の軌道や流体の動きなど、私たちの周りの変化する世界の動きと動的な変化を理解することを可能にしました。」
微積分を使用して、科学者、天文学者、物理学者、数学者、および化学者は、惑星と星の軌道、および原子レベルでの電子と陽子の経路をグラフ化できるようになりました。
微分積分と積分微積分
微積分には、微分と積分の2つの分岐があります。「微分微積分は微分積分学を研究します...積分学」とマサチューセッツ工科大学は述べています。しかし、それだけではありません。微分計算は、量の変化率を決定します。勾配と曲線の変化率を調べます。
このブランチは、特に導関数と微分を使用して、変数に関する関数の変化率の研究に関係しています。導関数は、グラフ上の線の傾きです。ランの上昇を計算することにより、線の傾きを見つけます。
対照的に、積分微積分は、変化率がわかっている量を見つけようとします。このブランチは、接線の傾きや速度などの概念に焦点を当てています。微分計算は曲線自体に焦点を合わせますが、積分計算は曲線の下の空間または面積に関係します。積分計算は、長さ、面積、体積などの合計サイズまたは値を計算するために使用されます。
微積分は、船員が月の位置を使用して現地時間を正確に決定できるようになったため、17世紀と18世紀の航海 の発展に不可欠な役割を果たしました。海上での位置をグラフ化するには、ナビゲーターは時間と角度の両方を正確に測定できる必要がありました。微積分が開発される前は、船の航海士と船長はどちらもできませんでした。
微積分（微分積分と積分の両方）は、地球の曲線、特定の場所に到達するために船が曲線の周りを移動しなければならなかった距離、さらには地球と海の位置合わせの観点から、この重要な概念の理解を深めるのに役立ちました、および星に関連して出荷されます。
実用的なアプリケーション
微積分は、実生活で多くの実用的なアプリケーションを持っています。微積分を使用する概念には、運動、電気、熱、光、調和、音響、天文学などがあります。Calculusは、地理学、コンピュータービジョン（自動車の自動運転など）、写真、人工知能、ロボット工学、ビデオゲーム、さらには映画でも使用されています。微積分は、化学における放射性崩壊の速度の計算、さらには出生率と死亡率の予測、さらには重力と惑星の運動、流体の流れ、船の設計、幾何学的曲線、橋梁工学の研究にも使用されます。
たとえば、物理学では、微積分は、運動、電気、熱、光、調和、音響、天文学、および力学を定義、説明、および計算するために使用されます。アインシュタインの相対性理論は微積分学に依存しています。微積分学は数学の分野であり、経済学者が企業や業界がどれだけの利益を上げることができるかを予測するのにも役立ちます。そして造船では、微積分は船の船体の曲線（微分計算を使用）と船体の下の面積（積分計算を使用）の両方を決定するために、そして船の一般的な設計においてさえも長年使用されてきました。
さらに、微積分は、統計、解析幾何学、代数などのさまざまな数学的分野の答えをチェックするために使用されます。
経済学における微積分
エコノミストは微積分を使用して、需要と供給、および最大の潜在的利益を予測します。結局のところ、需要と供給は基本的に曲線上にグラフ化されており、その曲線は常に変化しています。
エコノミストは、微積分を使用して 需要の価格弾力性を決定します。彼らは、絶えず変化する需給曲線を「弾力性」と呼び、曲線の作用を「弾力性」と呼んでいます。需要曲線または需要曲線の特定のポイントでの弾力性の正確な測定値を計算するには、価格のごくわずかな変化について考え、その結果、数学的導関数を弾力性の式に組み込む必要があります。Calculusを使用すると、絶えず変化する需要と供給の曲線上の特定のポイントを特定できます。
ソース
「微積分の要約」。マサチューセッツ工科大学、2000年1月10日、マサチューセッツ州ケンブリッジ。
ベル曲線と正規分布の定義
数学と科学におけるベル曲線の意味
2019年9月3日に更新
ベル曲線 という用語は、ガウス分布と呼ばれることもある正規分布と呼ばれる数学的概念を説明するために使用されます。「ベルカーブ」とは、正規分布の基準を満たすアイテムのデータポイントを使用して線をプロットしたときに作成されるベルの形状を指します。
釣鐘曲線では、中心に最も多くの値が含まれているため、線の弧の最高点になります。このポイントは平均と呼ばれますが、簡単に言えば、要素（統計的には最頻値）の発生数が最も多いポイントです。
正規分布
正規分布 について注意すべき重要な点は、曲線が中央に集中し、両側で減少することです。これは、他の分布と比較して、データが外れ値と呼ばれる異常に極端な値を生成する傾向が少ないという点で重要です。また、ベル曲線はデータが対称であることを示しています。これは、データに含まれる偏差の量を測定した後、結果が中心の左または右の範囲内にある可能性について合理的な期待を作成できることを意味します。これは標準偏差で測定されます。 。
ベルカーブグラフは、平均と標準偏差の2つの要因に依存します。平均は中心の位置を識別し、標準偏差はベルの高さと幅を決定します。たとえば、標準偏差が大きいと、短くて幅の広いベルが作成され、標準偏差が小さいと、高くて狭い曲線が作成されます。
ベル曲線の確率と標準偏差
正規分布の確率係数を理解するには、次のルールを理解する必要があります。
曲線の下の総面積は1（100％）に等しい
曲線の下の領域の約68％は、1つの標準偏差内にあります。
曲線の下の領域の約95％は、2つの標準偏差の範囲内にあります。
曲線の下の領域の約99.7％は、3つの標準偏差の範囲内にあります。
上記の項目2、3、および4は、経験則または68–95–99.7規則と呼ばれることもあります。データが正規分布している（ベルカーブ）と判断し、平均と標準偏差を計算すると、単一のデータポイントが特定の可能性の範囲内に入る 確率を判断できます。
ベル曲線の例
ベルカーブまたは正規分布の良い例は、2つのサイコロの目です。分布は数字の7を中心とし、中心から離れるにつれて確率は減少します。
これは、2つのサイコロを振ったときのさまざまな結果の確率のパーセントです。
2：（1/36）2.78％
3：（2/36）5.56％
4：（3/36）8.33％
5：（4/36）11.11％
6：（5/36）13.89％
7：（6/36）16.67％=最も可能性の高い結果
8：（5/36）13.89％
ナイン：（4/36）11.11％
10：（3/36）8.33％
11：（2/36）5.56％
12：（1/36）2.78％
正規分布には多くの便利な特性があるため、多くの場合、特に物理学や天文学では、確率計算を可能にするために、分布が不明なランダムな変動が正規分布であると見なされることがよくあります。これは危険な仮定になる可能性がありますが、中心極限定理として知られる驚くべき結果のため、多くの場合、適切な近似になります。
この定理は、有限の平均と分散を持つ分布を持つバリアントのセットの平均は、正規分布で発生する傾向があることを示しています。テストスコアや高さなどの多くの一般的な属性は、ほぼ正規分布に従い、ハイエンドとローエンドに少数のメンバーがあり、中間に多くのメンバーがあります。
ベルカーブを使用すべきでない場合
正規分布パターンに従わないデータの種類がいくつかあります。これらのデータセットは、ベルカーブに合わせるように強制されるべきではありません。典型的な例は、学生の成績です。これには、多くの場合2つのモードがあります。曲線に従わない他のタイプのデータには、収入、人口増加、および機械的故障が含まれます。
平均の定義
数学的平均について知っておくべきこと
2018年9月29日に更新
数学と統計では、平均とは、値のグループの合計をnで 割ったものを指します。ここで、nはグループ内の値の数です。平均は平均とも呼ばれます。
中央値や最頻値と 同様に、平均は中心傾向の尺度であり、特定のセットの典型的な値を反映していることを意味します。平均は、学期または学期の最終成績を決定するために非常に定期的に使用されます。平均は、パフォーマンスの測定値としても使用されます。たとえば、打率は、野球選手が打率を上げているときに打つ頻度を表します。燃費は、車両が通常1ガロンの燃料で走行する距離を表します。
その最も口語的な意味では、平均は一般的または典型的と見なされるものを指します。
数学的平均
数学的平均は、値のグループの合計を取得し、それをグループ内の値の数で割ることによって計算されます。算術平均とも呼ばれます。（幾何学的平均や調和平均などの他の平均は、合計ではなく値の積と逆数を使用して計算されます。）
値のセットが少ない場合、平均の計算にはいくつかの簡単な手順が必要です。たとえば、5人のグループの平均年齢を求めたいとします。それぞれの年齢は12、22、24、27、および35です。最初に、これらの値を合計して、それらの合計を求めます。
12 + 22 + 24 + 27 + 35 = 120
次に、この合計を取得し、値の数（5）で除算します。
120÷5=24
結果の24は、5人の平均年齢です。
平均、中央値、最頻値
最も一般的なものの1つですが、平均または平均は、中心傾向の唯一の尺度ではありません。他の一般的な測定値は中央値と最頻値です。
中央値は、特定のセットの中央値、または上半分と下半分を分ける値です。上記の例では、5人の年齢の中央値は24であり、値は上半分（27、35）と下半分（12、22）の間にあります。このデータセットの場合、中央値と平均は同じですが、常にそうであるとは限りません。たとえば、グループの最年少の個人が12人ではなく7人だった場合、平均年齢は23歳になります。ただし、中央値は24のままです。
統計家にとって、中央値は、特にデータセットに外れ値、またはセット内の他の値と大きく異なる値が含まれている場合に、非常に有用な尺度になる可能性があります。上記の例では、すべての個人が互いに25年以内にいます。しかし、そうでない場合はどうなりますか？最年長の人が35歳ではなく85歳だった場合はどうなりますか？その外れ値は、平均年齢を34歳まで引き上げます。これは、セット内の値の80パーセントを超える値です。この外れ値のため、数学的平均はグループ内の年齢を適切に表すものではなくなりました。24の中央値ははるかに良い尺度です。
モードは、データセットで最も頻繁に使用される値、または統計サンプルに表示される可能性が最も高い値です。上記の例では、個々の値が一意であるため、モードはありません。ただし、より多くの人々のサンプルでは、同じ年齢の複数の個人が存在する可能性が高く、最も一般的な年齢はモードです。
加重平均
通常の平均では、特定のデータセットの各値は同等に扱われます。つまり、各値は他の値と同じように最終的な平均に寄与します。加重平均でただし、一部の値は、他の値よりも最終平均に大きな影響を及ぼします。たとえば、株式A、株式B、株式Cの3つの異なる株式で構成される株式ポートフォリオを想像してみてください。昨年、株式Aの値は10％増加し、株式Bの値は15％増加し、株式Cの値は25％増加しました。 。これらの値を合計して3で割ることにより、平均成長率を計算できます。しかし、それは、所有者が同量の株式A、株式B、および株式Cを保有している場合にのみ、ポートフォリオの全体的な成長を示します。もちろん、ほとんどのポートフォリオには異なる株式が混在しており、一部はより大きな割合を占めています。他よりもポートフォリオ。
次に、ポートフォリオの全体的な成長を見つけるには、ポートフォリオに保持されている各株式の量に基づいて加重平均を計算する必要があります。例として、株式Aがポートフォリオの20％を構成し、株式Bが10％を構成し、株式Cが70％を構成するとします。
各成長値にポートフォリオのパーセンテージを掛けて重み付けします。
株式A=10％の成長xポートフォリオの20％= 200
株式B=15パーセントの成長xポートフォリオの10パーセント=150
株式C=25パーセントの成長xポートフォリオの70パーセント=1750
次に、これらの加重値を合計し、ポートフォリオのパーセンテージ値の合計で除算します。
（200 + 150 + 1750）÷（20 + 10 + 70）= 21
結果の21％は、ポートフォリオの全体的な成長を表しています。これは、3つの成長値の平均（16.67）よりも高いことに注意してください。これは、最もパフォーマンスの高い株式もポートフォリオの大部分を占めることを考えると理にかなっています。